Wzory, twierdzenia, definicje

Zbiory liczbowe

\({\bf R}\) – zbiór liczb rzeczywistych \({\bf N} = \{ {0,\,1,\,2,\,3,\, …  } \}\) – zbiór liczb naturalnych, \({{\bf N}_ + }\) – zbiór liczb naturalnych dodatnich \({\bf Z} = \{ { … ,\,  {-}3,\, {-}2,\, {-}1,\,0,\,1,\,2,\,3, \,…  } \}\) – zbiór liczb całkowitych \({\bf Q} = \Big\{  \frac{p}{q}{:} \; \; p \in {\bf Z},\ q \in {\bf Z},\ q \ne 0 \Big\}\) – zbiór liczb wymiernych; przykłady liczb wymiernych: \(-\frac{5}{3}\), \(2\frac{4}{5} \), \( {-}3 \), \( 5 \), \( 0 \), \( 2{,}1(4561)\) \({\bf R}\,\backslash\,{\bf Q}\) – zbiór liczb niewymiernych; przykłady liczb niewymiernych: \(\sqrt 2 \), \(\sqrt 5 \), \(\sqrt 8 \), \(\root 3 \of 2 \), \(\root 3 \of 4 \), \(\pi \). Podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych są: \({\bf N}\), \({\bf Z}\), \({\bf Q}\), \({\bf R}\,\backslash\, {\bf Q}\). Liczba wymierna to liczba, którą można przedstawić w postaci \(\frac{a}{b}\), gdzie \(a,\,b \in {\bf Z}\) i \(b \ne 0\). Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe. Liczba niewymierna to liczba rzeczywista, która nie jest liczbą wymierną. Każda liczba niewymierna ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe.

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej \(x\) definiujemy wzorem: \(|x| = \left\{ \begin{array}{ll} x &\textrm{dla}\ x \ge 0 \\ {-}x &\textrm{dla}\ x < 0\end{array}\right.\).

Własności wartości bezwzględnej

Dla \(x \in {\bf R}\), \(y \in {\bf R}\) zachodzi:

Potęgi o wykładnikach naturalnych dodatnich

\({a^0} = 1\) dla \(a \ne 0\) \(a^1 = a\) \({a^n} = \underbrace {a \cdot a \cdot … \cdot a}_{n\ \textrm{razy}}\)   dla   \(n \in {{\bf N}_ + }\), \(a \in {\bf R}\)

Potęgi o wykładnikach wymiernych

Dla \(m \in {{\bf N}_ + }\), \(n \in {{\bf N}_ + }\), \(n \ge 2\) zachodzi:

Własności potęg

Dla \(r \in {\bf R}\), \(s \in {\bf R}\), \(a > 0\), \(b > 0\) zachodzą równości:

\(a^{r} \cdot a^{s} = a^{r \,+\, s}\)          \(( a^{r} )^s = a^{r\, \cdot \,s}\)           \(\frac{{a^{r}}}{{a^{s}}} = a^{r\, -\, s}\)           \({(a \cdot b)^r} = a^{r} \cdot b^{r}\)           \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^{r}} = \frac{{{a^r}}}{{{b^r}}}\)

Własności monotoniczności

Jeżeli \(x \in {{\bf{N_+}} }\), \(y \in {{\bf{N_+}} }\), \(a \in {\bf{R_+}}\), \(b \in {\bf{R_+}}\) oraz

• \(x < y\) i \(a > 1\), to \({a^x} < {a^y}\).
• \(x < y\) i \(0 < a < 1\), to \({a^x} > {a^y}\).
• \(a < b\), to \({a^x} < {b^x}\).

Pierwiastki n-tego stopnia

Gdy \(n = 2k\), gdzie \(k \in {{\bf N}_ + }\), \(a \ge 0\), \(b \ge 0\), to \(\root n \of a  = b\) wtedy i tylko wtedy, gdy \({b^n} = a\). Gdy \(n = 2k + 1\), gdzie \(k \in {{\bf N}_ + }\), \(a \in {\bf R}\), \(b \in {\bf R}\), to \(\root n \of a  = b\) wtedy i tylko wtedy, gdy \({b^n} = a\).

Własności pierwiastków

Dla \(n \in {\bf N}\), \(n \ge 2\), \(m \in {\bf N}\), \( m \ge 2 \), \(a > 0\), \(b > 0\) zachodzą równości: \(\root n \of a  \cdot \root n \of b  = \root n \of {a \cdot b} \)                \(\frac{{\root n \of a }}{{\root n \of b }} = \root n \of {\frac{a}{b}} \)                \(\root m \of {\root n \of a }  = \root {m\, \cdot\, n} \of a \)

\(\sqrt {{a^2}}  = | a |\)  dla  \(a \in {\bf R}\)

Logarytmy

Dla \(a > 0\), \(\,a \ne 1\), \(b > 0\) zachodzi: \({\log _a}b = c\)  wtedy i tylko wtedy, gdy  \({a^c} = b\)

Własności logarytmów

Dla \(a > 0\), \(a \ne 1\), \(b > 0\), \(r > 0\), \(x > 0\), \(y > 0\) zachodzą równości: